Modul 6 Uji Hipotesis Dua Populasi

Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat menghasilkan uji hipotesis dua populasi dengan menggunakan perangkat lunak komputer STP-7.2

6.1 Konsep Dasar

Pada dasarnya, uji hipotesis dua populasi memiliki tahapan yang sama dengan uji hipotesis satu populasi yang di antaranya:

Merumuskan hipotesis kosong dan alternatif
Memilih distribusi statistik, wilayah kritis, dan titik kritis
Menghitung statistik uji
Membandingkan hasil statistik uji dengan titik kritis
Menarik kesimpulan

Perbedaannya terletak pada penentuan cakupan populasi, bentuk hipotesis yang diuji, dan cara menghitung statistik uji-nya saja.

cakupan populasi yang digunakan sudah bergeser dari cakupan yang digunakan pada uji hipotesis satu populasi. Jika sebelumnya cakupan populasinya adalah “mahasiswa yang berkuliah di Kota Bandar Lampung dan sekitarnya”, maka pada uji hipotesis dua populasi, cakupan populasinya bergeser, entah ke luar (lebih besar) menjadi “mahasiswa yang berkuliah di Kota Bandar Lampung dan sekitarnya” dan “mahasiswa yang berkuliah di Kota Palembang dan sekitarnya”, atau ke dalam (lebih kecil) menjadi “mahasiswa yang berkuliah di ITERA” dan “mahasiswa yang berkuliah di UINRIL”.

Untuk kasus praktikum ini kita akan menggunakan cakupan populasi ke dalam (lebih kecil), yakni kampus-kampus yang menjadi bagian dari data kita, yaitu ITERA, UINRIL, UBL, dan UNILA.
bentuk hipotesis yang diuji sudah bergeser dari hipotesis satu populasi. Jika sebelumnya hipotesisnya adalah \(H_0 : \mu_0 = 4\) dan \(H_1 : \mu_0 \ne 4\), maka pada uji hipotesis dua populasi, hipotesisnya berbentuk persamaan/pertidaksamaan antara dua parameter atau selisih antara dua parameter.

Contoh bentuk persamaan/pertidaksamaan antara dua parameter adalah \(H_0 : \mu_1 = \mu_2\) dan \(H_1 : \mu_1 \ne \mu_2\) atau \(H_1 : \mu_1 > \mu_2\) atau \(H_1 : \mu_1 < \mu_2\). Sementara itu bentuk selisih antara dua parameter adalah \(H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0\) dan \(H_1 : \mu_1 - \mu_2 \ne 0\) atau \(H_1 : \mu_1 - \mu_2 > 0\) atau \(H_1 : \mu_1 - \mu_2 < 0\).
cara menghitung statistik uji hipotesis dua populasi berbeda dengan cara menghitung statistik uji pada uji hipotesis satu populasi. Perbedaan ini terletak pada perhitungan standard error-nya. Kita akan menyelami lebih jauh perbedaannya di bagian berikutnya.

Pengujian hipotesis dua populasi dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu uji hipotesis dua populasi independen dan uji hipotesis dua populasi dependen. Pelajari kembali materi mengenai kedua jenis uji hipotesis ini pada buku teks Anda.

Seperti halnya pada uji hipotesis satu populasi, kita akan mempelajari uji hipotesis dua populasi untuk parameter rata-rata dan proporsi, terkecuali pada uji hipotesis dua populasi dependen, kita hanya akan mempelajari uji hipotesis dua populasi untuk parameter rata-rata saja, karena tidak masuk akal untuk menghitung proporsi pada dua populasi dependen.

6.2 Perangkat Lunak dan Pustaka (Libraries)

Seperti biasa, kita perlu memuat pustaka (libraries) yang diperlukan dalam pengolahan data kita. Pustaka yang akan kita gunakan pada modul ini sama persis dengan yang kita gunakan pada uji hipotesis 1 populasi. Oleh karena itu, kita cukup memuat kembali pustaka yang sudah kita gunakan pada modul sebelumnya, dengan asumsi sistem yang kita gunakan (komputer yang kita gunakan) masih sama dengan yang kita gunakan pada modul sebelumnya.

Menggunakan perintah yang sudah kita pelajari untuk mengecek apakah pustaka yang kita perlukan sudah termuat atau belum, ketikkan perintah berikut.

"package: tidyverse" %in% search()
"package: stats" %in% search()
"package: rmarkdown" %in% search()

Jika hasilnya TRUE, maka pustaka-pustaka yang kita minta tersebut sudah termuat. Jika hasilnya FALSE, maka kita cukup memuat pustaka yang belum ada dengan mengetikkan perintah library(nama_pustaka).

library(tidyverse)
library(stats)
library(rmarkdown)

Aktivitas Mandiri 1

Coba Anda cek apakah pustaka-pustaka yang diminta sudah termuat di RStudio Anda dengan menggunakan perintah yang telah diberikan. Bagaimana hasilnya? Jika ada pustaka yang belum termuat, muatlah pustaka tersebut dengan mengetikkan perintah library(nama_pustaka).

6.3 Uji Hipotesis Dua Populasi Independen untuk Parameter Rata-rata

Kita akan menggunakan data yang sama dengan yang kita gunakan pada modul sebelumnya, yaitu data mahasiswa dari 4 kampus yang berisikan variabel jarak tempuh (km) dan jenis tempat tinggal saja. Namun, pada modul ini kita akan menggunakan data tersebut untuk melakukan uji hipotesis dua populasi independen untuk parameter rata-rata. Kita akan membandingkan rata-rata jarak tempuh mahasiswa ITERA dengan mahasiswa UINRIL.

6.3.1 Memuat Dataset

Pada praktikum uji hipotesis satu populasi, kita memuat dataset data_mahasiswa.csv menggunakan perintah read_csv2() dan langsung menggunakannya, karena populasi kita adalah “mahasiswa yang berkuliah di Kota Bandar Lampung dan sekitarnya”. Akan tetapi, karena populasi kita sekarang bergeser pada mahasiswa yang berkuliah di ITERA dan mahasiswa yang berkuliah di UINRIL saja, maka kita perlu memuat dataset untuk masing-masing kampus ke dalam variabel-variabel yang berbeda menggunakan bantuan perintah filter().

# Memuat dataset seluruh mahasiswa
data_mahasiswa <- read_csv2("datasets/data_mahasiswa.csv")

# Menyaring dataset seluruh mahasiswa untuk menghasilkan dataset ITERA
data_itera <- data_mahasiswa |>
  filter(kampus == "ITERA")

# Menyaring dataset seluruh mahasiswa untuk menghasilkan dataset UINRIL
data_uinril <- data_mahasiswa |>
  filter(kampus == "UINRIL")

Mari kita biasakan untuk selalu mengecek dataset yang kita miliki dengan menggunakan perintah glimpse().

glimpse(data_itera)
glimpse(data_uinril)
## Rows: 427
## Columns: 4
## $ kampus            <chr> "ITERA", "ITERA", "ITERA", "ITERA", "ITERA", "ITERA",…
## $ jarak_km          <dbl> 6.69, 2.82, 5.17, 6.95, 5.57, 4.75, 8.27, 3.70, 3.77,…
## $ jenis_tinggal     <chr> "Rumah pribadi/rumah keluarga", "Kos Sendiri", "Kos S…
## $ tipe_tinggal_baku <chr> "Rumah Keluarga/Pribadi", "Kos/Asrama", "Kos/Asrama",…
## Rows: 400
## Columns: 4
## $ kampus            <chr> "UINRIL", "UINRIL", "UINRIL", "UINRIL", "UINRIL", "UI…
## $ jarak_km          <dbl> 19.27, 0.58, 0.56, 1.05, 1.69, 7.91, 2.58, 2.32, 0.77…
## $ jenis_tinggal     <chr> "Rumah Bersama Saudara", "Kos Sendiri", "Kos Sendiri"…
## $ tipe_tinggal_baku <chr> "Rumah Keluarga/Pribadi", "Kos/Asrama", "Kos/Asrama",…

Data ITERA terdiri atas 427 mahasiswa dan data UINRIL terdiri atas 400 mahasiswa. Kedua dataset memiliki 4 variabel yakni jarak_km yang berjenis numeric, jenis_tinggal (character), kampus (character), dan tipe_tinggal_baku (character).

Kita dapat menganalisis perbedaan parameter rata-rata pada variabel jarak_km yang sudah berjenis numeric. Untuk proporsi, kita dapat menggunakan variabel jenis_tinggal yang harus kita hitung frekuensinya terlebih dahulu. Variabel tersebut memiliki kategori-kategori Rumah pribadi/rumah keluarga, Kos Sendiri, Rumah mengontrak bersama-sama, Kos bersama-sama, Rumah bersama saudara, Rumah mengontrak pribadi dan Asrama. Kategori-kategori tersebut disederhanakan menjadi 2 kategori pada variabel tipe_tinggal_baku: Rumah Keluarga/Pribadi dan Kos/Asrama.

Aktivitas Mandiri 2

Untuk aktivitas mandiri Anda, kita akan menggunakan dataset UBL dan UNILA. Muatlah dataset UBL dan UNILA ke dalam variabel data_ubl dan data_unila menggunakan bantuan perintah filter() seperti yang telah dicontohkan.

Jangan lupa mengecek dataset tersebut menggunakan perintah glimpse().

6.3.2 Merumuskan Hipotesis Kosong dan Alternatif

Sama seperti sebelumnya, langkah pertama dalam uji hipotesis adalah menyusun hipotesis nol (\(H_0\)) dan hipotesis alternatif (\(H_1\)). Untuk kasus two-tailed test, hipotesis alternatif menyatakan adanya perbedaan rata-rata tanpa menyebutkan arah (lebih besar atau lebih kecil). Artinya, kita hanya ingin tahu apakah terdapat perbedaan signifikan atau tidak, tanpa peduli siapa yang lebih besar. Pelajari pernyataan hipotesis nol dan alternatif dalam bentuk persamaan/pertidaksamaan dan selisih untuk kasus two-tailed test berikut.

\[ \begin{aligned} &\text{bentuk persamaan/pertidaksamaan} \\ &H_0 : \mu_1 = \mu_2 \\ &H_1 : \mu_1 \ne \mu_2 \\ & \\ \\ &\text{bentuk selisih} \\ &H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_1 : \mu_1 - \mu_2 \ne 0 \end{aligned} \]

Untuk kasus one-tailed test, hipotesis alternatif menyatakan arah perbedaan rata-rata (lebih besar atau lebih kecil). Artinya, kita ingin tahu apakah terdapat perbedaan signifikan atau tidak, dan kita peduli siapa yang lebih besar. Kita akan menyatakan hipotesis nol dan alternatif dalam bentuk persamaan/pertidaksamaan dan selisih untuk kasus one-tailed test berikut.

\[ \begin{aligned} &\text{bentuk persamaan/pertidaksamaan} \\ &H_0 : \mu_1 = \mu_2 \\ &H_1 : \mu_1 > \mu_2 \text{, atau} \\ &H_1 : \mu_1 < \mu_2 \\ & \\ \\ &\text{bentuk selisih} \\ &H_0 : \mu_1 - \mu_2 = 0 \\ &H_1 : \mu_1 - \mu_2 > 0 \text{, atau} \\ &H_1 : \mu_1 - \mu_2 < 0 \end{aligned} \]

Agar kita bisa memilih bentuk hipotesis nol dan alternatif yang sesuai, kita harus menghitung rata-rata masing-masing populasi dari dataset kita terlebih dahulu.

# Menghitung rata-rata jarak mahasiswa ITERA dari rumah ke kampus
mean_jarak_itera <- mean(data_itera$jarak_km)

# Menghitung rata-rata jarak mahasiswa UINRIL dari rumah ke kampus
mean_jarak_uinril <- mean(data_uinril$jarak_km)

# Menampilkan hasil perhitungan rata-rata
cat(
  "Rata-rata jarak mahasiswa ITERA dari rumah ke kampus:",
  mean_jarak_itera, "\n",
  "Rata-rata jarak mahasiswa UINRIL dari rumah ke kampus:",
  mean_jarak_uinril
)

## Rata-rata jarak mahasiswa ITERA dari rumah ke kampus: 5.009297 
##  Rata-rata jarak mahasiswa UINRIL dari rumah ke kampus: 3.214675

Dari hasil perhitungan tersebut, kita mendapatkan hasil bahwa rata-rata jarak mahasiswa ITERA dari rumah ke kampus adalah 5.0092974 km dan rata-rata jarak mahasiswa UINRIL dari rumah ke kampus adalah 3.214675 km. Oleh karena dari sampel kita diketahui rata-rata jarak ITERA lebih tinggi dari UIN, kita akan melakukan pengujian hipotesis satu arah (one-tailed test).

\[ \begin{align} &\text{bentuk persamaan/pertidaksamaan} \\ &H_0 : \mu_\text{ITERA} = \mu_\text{UINRIL} \\ &H_1 : \mu_\text{ITERA} > \mu_\text{UINRIL} \\ & \\ &\text{bentuk selisih} \\ &H_0 : \mu_\text{ITERA} - \mu_\text{UINRIL} = 0 \\ &H_1 : \mu_\text{ITERA} - \mu_\text{UINRIL} > 0 \end{align} \]

Aktivitas Mandiri 3

Hitung rata-rata jarak tempuh mahasiswa UBL dan UNILA dari rumah ke kampus menggunakan perintah mean().
Berdasarkan hasil perhitungan rata-rata tersebut, tuliskan hipotesis nol dan alternatifnya menggunakan perintah cat() seperti berikut dengan mengganti ... dengan simbol yang sesuai.
```
cat(
 "H_0: \\mu_{UBL} = \\mu_{UNILA}", "\n",
 "H_1: \\mu_{UBL} ... \\mu_{UNILA}"
)
```
dengan
- H_0 dan H_1 adalah hipotesis nol dan alternatif
- \mu_{UBL} adalah rata-rata jarak tempuh mahasiswa UBL dari rumah ke kampus
- \mu_{UNILA} adalah rata-rata jarak tempuh mahasiswa UNILA dari rumah ke kampus
- ... adalah simbol yang sesuai dengan hasil perhitungan rata-rata

6.3.3 Memilih Distribusi Statistik, Wilayah Kritis, dan Titik Kritis

Setelah hipotesis dirumuskan, kita harus menentukan distribusi sampling yang dipakai serta wilayah kritisnya. Karena ukuran sampel cukup besar, distribusi normal standar (\(Z\)) digunakan sebagai acuan. Untuk one-tailed test, wilayah kritis terbagi dua sama besar di kedua sisi kurva distribusi.

Nilai kritis diperoleh dari tabel distribusi normal berdasarkan nilai \(\alpha\) yang kita gunakan dan bentuk hipotesis alternatifnya. Bentuk hipotesis alternatif kita adalah berarah lebih besar (\(>\)), sehingga wilayah kritisnya berada di sisi kanan kurva distribusi normal standar.

Berdasarkan pembahasan pada modul sebelumnya (subbab 5.5.1.2.2), nilai kritis untuk uji satu ekor berarah lebih besar diketahui dengan fungsi qnorm() dengan nilai masukan 1 - alpha

# Menentukan nilai alpha
alpha <- 0.05

# Menentukan nilai kritis untuk uji satu ekor berarah lebih besar
z_crit_1tail <- qnorm(1 - alpha)

# Menampilkan nilai kritis
cat("Nilai kritis yang digunakan dalam pengujian ini adalah:", z_crit_1tail)

## Nilai kritis yang digunakan dalam pengujian ini adalah: 1.644854

6.3.4 Menghitung Statistik Uji

Pada langkah ini, kita akan menghitung statistik uji (\(Z\)) berdasarkan data ringkasan dari dua sampel. Perhitungan tersebut akan dilakukan dengan langkah berikut.

Membuat fungsi uji hipotesis rata-rata untuk dua populasi independen Dengan fungsi ini, kita bisa langsung memasukkan nilai-nilai statistik dari kedua populasi dan mendapatkan nilai Z yang akan dibandingkan dengan titik kritis.
Mendeklarasikan variabel masukan pengujian berupa rata-rata dan simpangan baku setiap dataset sampel
Menghitung statistik uji (Z) menggunakan fungsi yang sudah dibuat.

6.3.4.1 Membuat Fungsi Uji Hipotesis Rata-rata untuk Dua Populasi Independen

Fungsi berikut digunakan untuk menghitung statistik uji (\(Z\)) dari dua populasi independen.

ht_mean_2pop_ind <- function(xbar1, xbar2, sd1, sd2, n1, n2) {
  # Indentasi diberikan untuk memudahkan
  # pembacaan karena banyaknya tanda kurung
  se <- sqrt(
    (
      (sd1^2) / (n1 - 1)
    ) + (
      (sd2^2) / (n2 - 1)
    )
  )
  z_hitung <- (xbar1 - xbar2) / se # menghitung nilai Z dari statistik
  return(z_hitung)
}

Fungsi ini pada dasarnya bentuk sintaks program R dari rumus perhitungan statistik uji Z untuk dua populasi independen berikut.

\[ Z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1 - 1} + \frac{s_2^2}{n_2 - 1}}} \]

Perhatikan bahwa pada fungsi ht_mean_2pop_ind kita mengurangkan xbar1 dengan xbar2 (xbar1 - xbar2) dan menuliskan hipotesis kita dalam bentuk pengurangan dengan \(\mu_\text{ITERA} - \mu_\text{UINRIL}\). Keduanya harus selaras, artinya kita harus ingat bahwa xbar1 kita adalah \(\mu_\text{ITERA}\) dan xbar2 kita adalah \(\mu_\text{UINRIL}\).

Aktivitas Mandiri 4

Tuliskan fungsi untuk menghitung statistik uji (Z) dari dua populasi independen seperti contoh di atas dan jalankan di file R Anda.

6.3.4.2 Mendeklarasikan variabel uji

Setelah mendapatkan ringkasan data, kita harus menyimpan nilai rata-rata, simpangan baku, dan ukuran sampel ke dalam variabel khusus. Variabel-variabel ini akan dipakai langsung sebagai input fungsi uji hipotesis. Dengan mendeklarasikannya lebih dulu, proses penghitungan menjadi lebih rapi dan mudah diikuti.

# Menghitung simpangan baku, serta ukuran sampel
# dataset kampus UINRIL
# Rata-rata sudah kita hitung sebelumnya
sd_jarak_uinril <- sd(data_uinril$jarak_km)
n_jarak_uinril <- nrow(data_uinril)

# Menampilkan variabel uji untuk dataset UINRIL
cat(
  "Rata-rata jarak tempuh mahasiswa UINRIL sebanyak",
  n_jarak_uinril, "orang dari rumah ke kampus:", mean_jarak_uinril,
  "km dengan simpangan bakunya sebesar", sd_jarak_uinril, "km."
)

# Menghitung simpangan baku, serta ukuran sampel
# dataset kampus ITERA
# Rata-rata sudah kita hitung sebelumnya
sd_jarak_itera <- sd(data_itera$jarak_km)
n_jarak_itera <- nrow(data_itera)

# Menampilkan variabel uji untuk dataset ITERA
cat(
  "\n", "\n",
  "Rata-rata jarak tempuh mahasiswa ITERA sebanyak",
  n_jarak_itera, "orang dari rumah ke kampus:", mean_jarak_itera,
  "km dengan simpangan bakunya sebesar", sd_jarak_itera, "km."
)

## Rata-rata jarak tempuh mahasiswa UINRIL sebanyak 400 orang dari rumah ke kampus: 3.214675 km dengan simpangan bakunya sebesar 3.739008 km.
##  
##  Rata-rata jarak tempuh mahasiswa ITERA sebanyak 427 orang dari rumah ke kampus: 5.009297 km dengan simpangan bakunya sebesar 2.820239 km.

Aktivitas Mandiri 5

Hitung rata-rata, simpangan baku, serta ukuran sampel dataset UBL dan UNILA menggunakan perintah mean(), sd(), dan nrow().
Tampilkan variabel uji untuk dataset UBL dan UNILA menggunakan perintah cat() seperti contoh di atas.

6.3.4.3 Menghitung statistik uji (\(Z\)) dari fungsi yang telah dibuat

Setelah mengetahui titik kritis, kita hitung nilai statistik uji (Z) dari data yang dimiliki. Nilai ini diperoleh dengan memasukkan rata-rata, simpangan baku, dan ukuran sampel ke fungsi ht_mean_2pop_ind yang telah kita buat.

# Hasil perhitungan statistik uji rata-rata independen jarak ke kampus
# mahasiswa ITERA dan UINRIL
z_mean_itera_uinril <- ht_mean_2pop_ind(
  xbar1 = mean_jarak_itera,
  xbar2 = mean_jarak_uinril,
  sd1 = sd_jarak_itera,
  sd2 = sd_jarak_uinril,
  n1 = n_jarak_itera,
  n2 = n_jarak_uinril
)

Penulisan fungsi dapat dilakukan dengan menyebutkan nama variabelnya (seperti contoh di atas) atau tanpa menyebutkan nama variabelnya (seperti contoh pada subbab sebelumnya). Alasan kita menggunakan bentuk yang pertama adalah supaya kita lebih meminimalisasi kesalahan dalam pendefinisian nilai.

6.3.4.4 Menampilkan hasil statistik uji

cat(“Statistik uji Z untuk rata-rata jarak tempuh mahasiswa ITERA dan UINRIL:”, z_mean_itera_uinril)

Aktivitas Mandiri 6

Hitung statistik uji (Z) untuk dataset UBL dan UNILA menggunakan fungsi ht_mean_2pop_ind yang telah dibuat dan simpan menjadi variabel z_mean_unila_ubl. (Jangan lupa menentukan mana yang menjadi xbar1 atau xbar2 dengan benar!)

6.3.5 Menarik Kesimpulan

Langkah terakhir adalah membandingkan nilai statistik uji dengan titik kritis. Jika \(Z\) hitung lebih kecil dari \(Z\) kritis, maka \(H_0\) gagal ditolak, artinya perbedaan rata-rata jarak antara dua populasi kemungkinan hanyalah kebetulan. Jika \(Z\) hitung lebih besar dari \(Z\) kritis, maka \(H_0\) ditolak, yang berarti terdapat cukup bukti untuk menyatakan adanya perbedaan.

# Menentukan jenis pengujian
jenis_uji <- "satu ekor kanan"

# Menentukan tingkat signifikansi
alpha <- 0.05

# Menentukan apakah hipotesis kosong ditolak atau gagal ditolak
if (jenis_uji == "dua ekor") {
  if (abs(z_mean_itera_uinril) < abs(qnorm(alpha / 2))) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "Gagal menolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL",
      "hanyalah kebetulan."
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "Tolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL signifikan."
    )
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kiri") {
  if (z_mean_itera_uinril > qnorm(alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "Gagal menolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL",
      "hanyalah kebetulan."
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "Tolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL signifikan.",
      "Rata-rata jarak ke kampus mahasiswa ITERA lebih kecil dari UINRIL."
    )
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kanan") {
  if (z_mean_itera_uinril < qnorm(1 - alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "Gagal menolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL",
      "hanyalah kebetulan."
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "Tolak hipotesis kosong.",
      "Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL signifikan.",
      "Rata-rata jarak ke kampus mahasiswa ITERA lebih besar dari UINRIL."
    )
  }
}

## Tolak hipotesis kosong. Perbedaan rata-rata jarak ke kampus sampel ITERA dan UINRIL signifikan. Rata-rata jarak ke kampus mahasiswa ITERA lebih besar dari UINRIL.

Aktivitas Mandiri 7

Tentukan apakah pengujian hipotesis rata-rata jarak tempuh mahasiswa UBL dan UNILA menggunakan two-tailed test atau one-tailed test. Jika one-tailed test, tentukan apakah satu ekor kiri atau kanan. Gunakan \(\alpha\) = 0.07.
Bagaimana kesimpulan kita terhadap hipotesis kosong dan alternatif? Jalankan kode di atas untuk mendapatkan kesimpulan.

6.4 Uji Hipotesis Dua Populasi Independen untuk Parameter Proporsi

Selain rata-rata, kita juga sering kali membandingkan proporsi dari dua populasi. Sebagai contoh, kita ingin menguji perbandingan proporsi mahasiswa yang tinggal di kos/asrama dari ITERA dengan mahasiswa dari UINRIL.

6.4.1 Memuat Dataset

Dataset yang akan kita gunakan sama seperti bagian sebelumnya, yaitu data_itera dan data_uinril yang sudah kita muat. Namun, karena ini adalah pengujian parameter proporsi, kita perlu melihat ringkasan datanya guna menghitung jumlah mahasiswa yang tinggal di kos/asrama dari setiap kampus serta proporsinya. Mari kita periksa kondisi proporsi tempat tinggal dari masing-masing dataset terlebih dahulu.

# Meringkas dataset untuk mendapatkan proporsi Kos/Asrama di ITERA
summary_tempat_tinggal_itera <- data_itera |>
  group_by("Tipe tinggal" = tipe_tinggal_baku) |>
  summarize("Jumlah" = n()) |>
  mutate("proporsi" = Jumlah / sum(Jumlah))

print("Ringkasan tempat tinggal mahasiswa ITERA:")
print(summary_tempat_tinggal_itera)

# Meringkas dataset untuk mendapatkan proporsi Kos/Asrama di UINRIL
summary_tempat_tinggal_uinril <- data_uinril |>
  group_by("Tipe tinggal" = tipe_tinggal_baku) |>
  summarize("Jumlah" = n()) |>
  mutate("proporsi" = Jumlah / sum(Jumlah))

print("Ringkasan tempat tinggal mahasiswa UINRIL:")
print(summary_tempat_tinggal_uinril)
## [1] "Ringkasan tempat tinggal mahasiswa ITERA:"
## # A tibble: 2 × 3
##   `Tipe tinggal`         Jumlah proporsi
##   <chr>                   <int>    <dbl>
## 1 Kos/Asrama                235    0.550
## 2 Rumah Keluarga/Pribadi    192    0.450
## [1] "Ringkasan tempat tinggal mahasiswa UINRIL:"
## # A tibble: 2 × 3
##   `Tipe tinggal`         Jumlah proporsi
##   <chr>                   <int>    <dbl>
## 1 Kos/Asrama                184     0.46
## 2 Rumah Keluarga/Pribadi    216     0.54

Dapat kita lihat bahwa proporsi mahasiswa yang tinggal di kos/asrama ITERA adalah sebesar 0.5503513 dan proporsi mahasiswa yang tinggal di kos/asrama UINRIL adalah sebesar 0.46.

Aktivitas Mandiri 8

Ringkaslah dataset data_ubl dan data_unila untuk menghitung jumlah masing-masing tipe tempat tinggal mahasiswa beserta proporsinya, seperti contoh yang telah dilakukan pada ITERA dan UINRIL.

6.4.2 Merumuskan Hipotesis Kosong dan Alternatif

Untuk pengujian dua proporsi, seperti halnya parameter rata-rata, hipotesis kosong menyatakan proporsi populasi pertama sama dengan populasi kedua (atau selisihnya adalah nol), sementara alternatifnya menyatakan perbedaan. Berdasarkan konteks penelitian, sekarang kita atur agar hipotesis alternatifnya berarah lebih kecil (satu sisi kiri).

Dari subbab 6.4.1 kita dapat melihat bahwa proporsi mahasiswa mengekos di ITERA lebih besar dibandingkan UINRIL. Oleh karena itu, hipotesis alternatif kita hendaklah \(H_1: P_\text{UINRIL} < P_\text{ITERA}\)

\[ \begin{align} &H_0 : P_\text{UINRIL} - P_\text{ITERA} = 0 \\ &H_1 : P_\text{UINRIL} - P_\text{ITERA} < 0 \end{align} \]

Aktivitas Mandiri 9

Tuliskan hipotesis kosong dan alternatif (dalam bentuk persamaan selisih seperti di atas) sehingga hipotesis alternatifnya berarah lebih kecil (satu sisi kiri). Periksa proporsinya dengan perintah seperti pada subbab 6.4.1.

6.4.3 Memilih Distribusi Statistik, Wilayah Kritis, dan Titik Kritis

Distribusi statistik yang dipakai untuk pengujian proporsi sampel besar adalah distribusi normal standar (\(Z\)). Karena kita menggunakan pengujian alternatif yang berarah lebih kecil (\(<\)), letak wilayah kritisnya hanya ada di bagian kiri ekor kurva normal. Kali ini, kita akan menggunakan wilayah kritis sebesar \(\alpha = 0.10\).

Cara menemukan titik kritisnya untuk pengujian satu ekor ke kiri dengan \(\alpha = 0.10\) adalah dengan fungsi qnorm().

# Menentukan tingkat signifikansi
alpha <- 0.10

# Menentukan nilai kritis untuk uji satu ekor berarah lebih kecil (sisi kiri)
z_crit_prop_1tail_kiri <- qnorm(alpha)

cat("Nilai kritis untuk pengujian ini adalah:", z_crit_prop_1tail_kiri)

## Nilai kritis untuk pengujian ini adalah: -1.281552

Aktivitas Mandiri 10

Carilah titik kritis dengan tingkat signifikansi \(\alpha = 0.05\) untuk pengujian satu arah kiri.

6.4.4 Menghitung Statistik Uji

Bagian ini mirip dengan prosedur uji parameter rata-rata, kita butuh menghitung statistik uji dengan membuat fungsi khusus terlebih dahulu.

6.4.4.1 Membuat Fungsi untuk Menghitung Statistik Uji

Fungsi ini membutuhkan proporsi sampel (\(p_1\) dan \(p_2\)) serta ukuran sampel dari masing-masing populasi (\(n_1\) dan \(n_2\)). Fungsi ini akan menghitung proporsi gabungan terlebih dahulu, kemudian menghitung standard error, lalu mencari nilai probabilitas perhitungan (\(Z\)).

# Fungsi uji hipotesis (ht) proporsi dua populasi independen
ht_prop_2pop_ind <- function(p1_hat, p2_hat, n1, n2) {
  # Proporsi gabungan
  p_pool <- (p1_hat * n1 + p2_hat * n2) / (n1 + n2)

  # Standard error
  se <- sqrt(p_pool * (1 - p_pool) * ((1 / n1) + (1 / n2)))

  # Menghitung Z
  z_hitung <- (p1_hat - p2_hat) / se
  return(z_hitung)
}

Lagi-lagi, fungsi ini didasarkan pada rumus statistik uji proporsi dua populasi independen sebagai berikut.

\[ Z = \frac{p_1 - p_2}{\sqrt{p(1-p)(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}} \]

dengan:

\(p_1\) adalah proporsi sampel populasi pertama (p1_hat pada fungsi)
\(p_2\) adalah proporsi sampel populasi kedua (p2_hat pada fungsi)
\(n_1\) adalah ukuran sampel populasi pertama (n1 pada fungsi)
\(n_2\) adalah ukuran sampel populasi kedua (n2 pada fungsi)
\(p\) adalah proporsi gabungan (p_pool pada fungsi)

Ingat, \(p_1\) atau p1_hat pada fungsi adalah proporsi sampel populasi pertama, yang sesuai dengan hipotesis alternatif kasus kita, adalah proporsi mahasiswa kos/asrama UINRIL, sedangkan \(p_2\) atau p2_hat adalah proporsi mahasiswa kos/asrama ITERA.

Aktivitas Mandiri 11

Tuliskan fungsi untuk menghitung statistik uji proporsi dua populasi independen ke dalam script R Anda.

6.4.4.2 Mendeklarasikan Variabel Masukan

Mari kita deklarasikan dan simpan nilai \(p_1\) (proporsi mahasiswa UINRIL yang tinggal di Kos/Asrama) dan \(p_2\) (proporsi mahasiswa ITERA yang tinggal di Kos/Asrama) sebagai masukan untuk masing-masing ITERA dan UINRIL yang disarikan dari tabel ringkasan sebelumnya.

# Mengambil nilai proporsi mahasiswa UINRIL yang tinggal di Kos/Asrama
p_kos_uinril <- summary_tempat_tinggal_uinril |>
  filter(`Tipe tinggal` == "Kos/Asrama") |>
  pull(proporsi)

# Mengambil nilai proporsi mahasiswa ITERA yang tinggal di Kos/Asrama
p_kos_itera <- summary_tempat_tinggal_itera |>
  filter(`Tipe tinggal` == "Kos/Asrama") |>
  pull(proporsi)

cat(
  "UINRIL: \nProporsi Kos/Asrama:", p_kos_uinril, "\n\n",
  "ITERA: \nProporsi Kos/Asrama:", p_kos_itera
)

## UINRIL: 
## Proporsi Kos/Asrama: 0.46 
## 
##  ITERA: 
## Proporsi Kos/Asrama: 0.5503513

6.4.4.3 Menghitung Statistik Uji

Setelah nilai semua variabel masukan didapatkan, eksekusi fungsi statistik uji proporsi dua populasi independen yang telah kita buat.

# Menghitung nilai statistik uji Z
z_prop_itera_uinril <- ht_prop_2pop_ind(
  p1_hat = p_kos_itera,
  p2_hat = p_kos_uinril,
  n1 = length(data_itera$kampus),
  n2 = length(data_uinril$kampus)
)

cat("Statistik uji Z proporsi untuk ITERA dan UINRIL adalah:", z_prop_itera_uinril)

## Statistik uji Z proporsi untuk ITERA dan UINRIL adalah: 2.597132

Aktivitas Mandiri 12

Deklarasikan variabel masukan berupa proporsi mahasiswa yang kos/asrama baik untuk kampus UBL maupun UNILA.
Gunakan fungsi ht_prop_2pop_ind yang telah Anda buat untuk menghitung nilai statistik uji Z untuk kedua kampus tersebut dan simpan di dalam variabel z_prop_ubl_unila. (Jangan sampai terbalik antara peletakan inputan UBL dan UNILA)

6.4.5 Menarik Kesimpulan

Kita tarik simpulan hasil pengujian hipotesis dan bahas interpretasinya dengan cara menggunakan patokan if-else bertingkat seperti bagian sebelumnya.

# Menentukan jenis pengujian
jenis_uji <- "satu ekor kiri"

# Menentukan tingkat signifikansi
alpha <- 0.10

if (jenis_uji == "dua ekor") {
  if (abs(z_prop_itera_uinril) < abs(qnorm(alpha / 2))) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat("Gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan proporsi mahasiswa yang tinggal di kos/asrama ITERA dan UINRIL hanyalah kebetulan belaka.")
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat("Menolak hipotesis kosong. Terdapat perbedaan signifikan terkait proporsi mahasiswa yang tinggal di kos/asrama antara ITERA dan UINRIL.")
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kiri") {
  if (z_prop_itera_uinril > qnorm(alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat("Gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan proporsi hanyalah kebetulan.")
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat("Menolak hipotesis kosong. Terdapat bukti pengujian yang signifikan bahwa proporsi mahasiswa ITERA yang kos/asrama lebih kecil dibanding UINRIL.")
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kanan") {
  if (z_prop_itera_uinril < qnorm(1 - alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat("Gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan proporsi hanyalah kebetulan.")
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat("Menolak hipotesis kosong. Terdapat bukti pengujian yang signifikan bahwa proporsi mahasiswa ITERA yang kos/asrama lebih besar dibanding UINRIL.")
  }
}

## Gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan proporsi hanyalah kebetulan.

Aktivitas Mandiri 13

Tariklah kesimpulan untuk hasil pengujian parameter proporsi Anda (UBL vs UNILA). Ingat bahwa tujuan Anda adalah membuktikan “apakah proporsi anak kos/asrama UBL lebih kecil dari UNILA” dengan tingkat signifikansi \(\alpha = 0.05\).

6.5 Uji Hipotesis Dua Populasi Dependen

Menguji hipotesis dua populasi yang dependen pada dasarnya sama persis dengan uji hipotesis satu populasi, karena statistik yang diuji adalah perbedaan nilai sampel. Biasanya berbentuk “sebelum-sesudah”. Contoh: mengukur nilai mahasiswa sebelum dan sesudah diberi pelatihan. Bedanya dengan independen : kita tidak bandingkan dua kelompok berbeda, tapi pasangan data dari kelompok yang sama dalam dua kondisi.

Perbedaan nilai sampel jumlah nilainya hanya 1, sehingga bisa diperlakukan seperti halnya perhitungan uji hipotesis 1 populasi. Simpangan baku yang diketahui pun adalah simpangan baku perbedaan nilainya, sehingga jumlah nilainya hanya 1 juga.

6.5.1 Memuat Dataset

Untuk memahami konsep uji hipotesis 2 populasi dependen, kita akan menghasilkan dataset sendiri dengan bantuan kemampuan menghasilkan angka acak yang dimiliki R. Misalkan kita mengukur biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus. Populasi pertama adalah seluruh mahasiswa ITERA sebelum adanya program bus kampus, sedangkan populasi kedua adalah seluruh mahasiswa ITERA sesudah adanya program bus kampus.

Kita akan menghasilkan dataset buatan sendiri sebagai berikut. Anggap kita ingin melakukan pengambilan sampel dari 200 orang mahasiswa. Dataset yang kita hasilkan adalah sebagai berikut.

# Mengatur seed agar hasil acak dapat dibuat ulang di kemudian hari
set.seed(123)

# Ukuran sampel
n <- 200

# Menghasilkan data biaya transportasi harian mahasiswa sebelum adanya program bus kampus
biaya_sebelum <- runif(n, min = 2000, max = 25000)

# Menghasilkan data biaya transportasi harian mahasiswa sesudah adanya program bus kampus
biaya_sesudah <- runif(n, min = 2000, max = 25000)

# Menggabungkan kedua data menjadi satu dataframe
data_biaya <- data.frame(
  mahasiswa = 1:n,
  biaya_sebelum = biaya_sebelum,
  biaya_sesudah = biaya_sesudah
)

# Menampilkan beberapa baris pertama dari data
head(data_biaya)

##   mahasiswa biaya_sebelum biaya_sesudah
## 1         1      8614.283      7490.699
## 2         2     20131.018     24134.256
## 3         3     11406.469     15831.412
## 4         4     22309.400     13845.684
## 5         5     23630.748     11259.187
## 6         6      3047.799     22245.670

Penjelasan kode:

set.seed(123) digunakan untuk mengatur seed yang merupakan “pengontrol” keacakan dalam komputer sehingga hasil yang kita dapat bisa dibuat ulang oleh orang lain. Ini akan digunakan oleh fungsi runif().
n <- 200 digunakan untuk menentukan ukuran sampel yang kita inginkan.
biaya_sebelum <- runif(n, min = 2000, max = 25000) digunakan untuk menghasilkan data biaya transportasi harian mahasiswa sebelum adanya program bus kampus. Fungsi runif() digunakan untuk menghasilkan angka acak.
biaya_sesudah <- runif(n, min = 2000, max = 25000) digunakan untuk menghasilkan data biaya transportasi harian mahasiswa sesudah adanya program bus kampus.
data_biaya <- data.frame(mahasiswa = 1:n, biaya_sebelum = biaya_sebelum, biaya_sesudah = biaya_sesudah) digunakan untuk menggabungkan jumlah mahasiswa dan kedua data menjadi satu dataframe.
head(data_biaya) digunakan untuk menampilkan beberapa baris pertama dari data.

6.5.2 Menyatakan Hipotesis Kosong dan Alternatif

Hipotesis kosong dan alternatif untuk uji hipotesis 2 populasi dependen berfokus pada rata-rata perbedaan nilai (\(\mu_d\)) antara variabel sebelum dan sesudah. Oleh karena itu, nilainya hanya ada satu, yakni \(\mu_d\). Ini membuat prinsip perhitungannya mirip seperti uji hipotesis satu populasi, hanya saja kali ini kita menggunakan data perbedaan nilai.

Misalkan kita ingin membuktikan apakah biaya transportasi harian mahasiswa berkurang setelah adanya program bus kampus. Dengan demikian, hipotesis kosong dan alternatifnya adalah sebagai berikut.

\(H_0: \mu_d = 0\)
\(H_1: \mu_d < 0\)

6.5.3 Memilih Distribusi Statistik, Wilayah Kritis, dan Titik Kritis

Karena kita ingin membuktikan apakah biaya transportasi harian mahasiswa berkurang setelah adanya program bus kampus, maka kita akan menggunakan uji hipotesis 2 populasi dependen satu ekor kiri. Dengan demikian, distribusi statistik yang digunakan adalah distribusi normal (\(Z\)), wilayah kritisnya adalah \(\alpha\) yang akan kita gunakan, yakni 20% (\(\alpha = 0.20\)), dan titik kritisnya kita cari menggunakan fungsi qnorm() sebagai berikut.

# Menentukan wilayah kritis dan titik kritis
alpha <- 0.20
z_kritis <- qnorm(alpha)

# Menampilkan wilayah kritis dan titik kritis
cat("Wilayah kritis: Z < ", z_kritis, "\n")
cat("Titik kritis: ", z_kritis, "\n")

## Wilayah kritis: Z <  -0.8416212 
## Titik kritis:  -0.8416212

6.5.4 Menghitung Statistik Uji

6.5.4.1 Membuat Fungsi Uji Hipotesis Dua Populasi Dependen

Fungsi berikut digunakan untuk menghitung statistik uji (\(Z\)) dari dua populasi dependen.

ht_mean_2pop_dep <- function(xbar_delta, sd_delta, n) {
  # menghitung standard error untuk dua populasi dependen
  se <- sqrt(
    (
      (sd_delta^2) / (n - 1)
    )
  )
  # menghitung nilai Z dari statistik
  z_hitung <- (xbar_delta) / se
  return(z_hitung)
}

Fungsi ini pada dasarnya bentuk sintaks program R dari rumus perhitungan statistik uji Z untuk dua populasi independen berikut.

\[ Z = \frac{\bar{x}_d}{\sqrt{\frac{s_d^2}{n - 1}}} \]

6.5.4.2 Mendeklarasikan Statistik Uji

Sebelum menghitung statistik uji, kita perlu menghitung perbedaan nilai antara biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus. Kita akan menggunakan fungsi mutate() untuk mendeklarasikan perbedaan nilai antara biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus.

# Menghitung perbedaan nilai antara biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus
data_biaya <- data_biaya |>
  mutate(
    perbedaan = biaya_sebelum - biaya_sesudah
  )

# Menampilkan beberapa baris pertama dari data
head(data_biaya)

##   mahasiswa biaya_sebelum biaya_sesudah  perbedaan
## 1         1      8614.283      7490.699   1123.584
## 2         2     20131.018     24134.256  -4003.237
## 3         3     11406.469     15831.412  -4424.942
## 4         4     22309.400     13845.684   8463.717
## 5         5     23630.748     11259.187  12371.561
## 6         6      3047.799     22245.670 -19197.871

Penjelasan kode:

data_biaya <- data_biaya |> digunakan untuk menambahkan kolom baru pada dataframe data_biaya.
mutate() digunakan untuk menambahkan kolom baru pada dataframe data_biaya.
perbedaan = biaya_sebelum - biaya_sesudah digunakan untuk menghitung perbedaan nilai antara biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus.
head(data_biaya) digunakan untuk menampilkan beberapa baris pertama dari data.

6.5.4.3 Menghitung Statistik Uji

# Menghitung statistik uji (Z)
z_hitung_2pop_dep <- ht_mean_2pop_dep(
  xbar_delta = mean(data_biaya$perbedaan),
  sd_delta = sd(data_biaya$perbedaan),
  n = nrow(data_biaya)
)

# Menampilkan statistik uji (Z)
cat("Statistik uji (Z): ", z_hitung_2pop_dep, "\n")

## Statistik uji (Z):  0.5915824

6.5.5 Menarik Kesimpulan

Langkah terakhir adalah membandingkan nilai statistik uji dengan titik kritis. Karena kasus kita menggunakan uji satu ekor kiri, maka jika \(Z_{hitung}\) lebih besar dari \(Z_{kritis}\), maka \(H_0\) gagal ditolak, artinya perbedaan rata-rata biaya transportasi harian mahasiswa sebelum dan sesudah adanya program bus kampus kemungkinan hanyalah kebetulan. Jika \(Z_{hitung}\) lebih kecil dari \(Z_{kritis}\), maka \(H_0\) ditolak, yang berarti terdapat cukup bukti untuk menyatakan bahwa biaya transportasi harian mahasiswa berkurang setelah adanya program bus kampus.

# Menghitung nilai statistik uji Z (sudah dilakukan sebelumnya)
z_hitung_2pop_dep

# Menentukan jenis pengujian
jenis_uji <- "satu ekor kiri"

# Menentukan tingkat signifikansi
alpha <- 0.20

# Menentukan apakah hipotesis kosong ditolak atau gagal ditolak
if (jenis_uji == "dua ekor") {
  if (abs(z_hitung_2pop_dep) < abs(qnorm(alpha / 2))) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan rata-rata sampel",
      round(sample_mean, 2), "dengan", pop_mean, "hanyalah kebetulan"
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "menolak hipotesis kosong. Rata-rata jarak pada sampel mahasiswa sebesar",
      round(sample_mean, 2), "km menunjukkan perbedaan yang signifikan"
    )
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kiri") {
  if (z_hitung_2pop_dep > qnorm(alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan rata-rata sampel",
      round(sample_mean, 2), "dengan", pop_mean, "hanyalah kebetulan"
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "menolak hipotesis kosong. Rata-rata jarak pada sampel mahasiswa sebesar",
      round(sample_mean, 2), "km menunjukkan perbedaan yang signifikan"
    )
  }
} else if (jenis_uji == "satu ekor kanan") {
  if (z_hitung_2pop_dep < qnorm(1 - alpha)) {
    tolak_h0 <- FALSE
    cat(
      "gagal menolak hipotesis kosong. Perbedaan rata-rata sampel",
      round(sample_mean, 2), "dengan", pop_mean, "hanyalah kebetulan"
    )
  } else {
    tolak_h0 <- TRUE
    cat(
      "menolak hipotesis kosong. Rata-rata jarak pada sampel mahasiswa sebesar",
      round(sample_mean, 2), "km menunjukkan perbedaan yang signifikan"
    )
  }
}

Aktivitas Mandiri 14

Buatlah dataset fiktif yang berisi nilai penjualan harian 120 warung (dalam skala jutaan rupiah) dengan rentang 2.5 hingga 25.0 sebelum dan sesudah adanya exit tol.
Lakukan pengujian hipotesis untuk membuktikan apakah ada perbedaan rata-rata nilai penjualan harian warung sebelum dan sesudah adanya exit tol menggunakan tingkat kepercayaan 99% (\(\alpha = 0{,}01\)).
Hitunglah titik kritis dan statistik ujinya menggunakan R, lalu tarik kesimpulan dari pengujian tersebut.

5 Uji Hipotesis Satu Populasi

7 Analisis Hubungan Korelatif: Korelasi Variabel Nominal dan Ordinal